省流：只学了前两章，不学了。

教材 PDF

使用的教材是 Quantum Computation and Quantum Information (10th Anniversary Edition) .

主要笔记都画在教材的 pdf 上了（很大）~~，等什么时候学完了那个 pdf (?) 再把它放出来~~。

PDF在 Google Drive 打开

这个 pdf 是有目录的，可以下载下来查看。

批注

下面是一些写不到 pdf 上的批注（『这里空白太小了我写不下』）。可能会比较杂乱。

希尔伯特空间

快速了解（若链接挂了可去 archive.ph 查找）：

https://ccjou.wordpress.com/2009/08/18/%E5%BE%9E%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%96%93%E5%88%B0%E5%87%BD%E6%95%B8%E7%A9%BA%E9%96%93/

在此感谢作者。

“伴随”概念澄清

在本科教授的线性代数、量子计算涉及的数学这两者中，都有“伴随”的概念，但它们实际上是不同的数学概念。

1） 矩阵的代数余子式和转置定义的“伴随矩阵”

在经典线性代数中，伴随矩阵（adjugate matrix 或 classical adjoint）指的是矩阵的代数余子式矩阵的转置。

伴随矩阵在计算矩阵的逆时起到重要作用：

$$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) $$

2） 在量子力学或泛函分析中的“伴随”或“厄米共轭”

在量子力学和泛函分析中，“伴随”（adjoint）通常指的是算子 $ A $ 的 Hermitian adjoint，记作 $ A^\dagger $。

另外：经典线性代数中的“伴随”，并非是泛函分析中的“伴随”在实数空间上的特殊情况。

adjoint 和共轭转置

adjoint 的定义在 pdf 第 69 页。

下面推导它们等价。

由对偶向量的计算方法：

$$ \langle v | A | w \rangle = (\overline{v})^T A w $$

由 adjoint 的定义，将 2.32 式子中的 $A^\dagger |v \rangle$ 整体视作一个向量：

$$ \langle v | A | w \rangle = \langle A^\dagger v | w \rangle $$

右边的内积可以表示为：

$$ \langle A^\dagger v | w \rangle = (\overline{A^\dagger v})^T w $$

等式要求两边相等，所以：

$$ (\overline{v})^T A w = (\overline{A^\dagger v})^T w $$

由于这对任意的 $ w $ 都成立，必然有：

$$ (\overline{v})^T A = (\overline{A^\dagger v})^T $$

将其进一步展开，我们有（不难验证 $\overline{A\alpha}=\overline{A}\overline{\alpha}$ ，其中 A 是矩阵，$\alpha$ 是向量）：

$$ (\overline{v})^T A = (\overline{v})^T (\overline{A^\dagger})^T $$

因此：

$$ A = (\overline{A^\dagger})^T $$

即：

$$ A^\dagger = (\overline{A})^T $$

酉矩阵是方阵

酉矩阵一定是方阵。

酉矩阵 $ U $ 满足 $ U^\dagger U = U U^\dagger = I $，其中 $ U^\dagger $ 是 $ U $ 的共轭转置矩阵，$ I $ 是单位矩阵。

如果 $ U $ 是 $ m \times n $ 的矩阵，则 $ U^\dagger $ 是 $ n \times m $ 的矩阵。那么，$ U^\dagger U $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，而 $ UU^\dagger $ 是一个 $ m \times m $ 的方阵。不满足酉矩阵的定义。

对标准正交基进行酉变换

对一组标准正交基进行酉变换，得到的新基仍然是标准正交基。

在一个希尔伯特空间中，$\{ |e_i\rangle \}$ 是标准正交基，意味着对于任意的 $i$ 和 $j$，有：

$$ \langle e_i | e_j \rangle = \delta_{ij} $$

设 $\{ |e_i\rangle \}$ 是原来的标准正交基，在经过酉变换 $U$ 后，得到的新基为 $\{ |e’_i\rangle \}$，其中 $ |e’_i\rangle = U |e_i\rangle $。我们需要证明这组新基依然是标准正交基。

酉变换保持内积（pdf 71页）：

$$ \langle e'_i | e'_j \rangle = \langle U e_i | U e_j \rangle = \langle e_i | e_j \rangle $$

所以：

$$ \langle e'_i | e'_j \rangle = \delta_{ij} $$

因此新基 $\{ |e’_i\rangle \}$ 也是一组标准正交基。

$$ \begin{aligned} U & = \sum_{ij} \langle w_j|U|v_i \rangle|w_j\rangle \langle v_i| \\ & = \sum_{ij} \langle w_j|w_i \rangle|w_j\rangle \langle v_i| \\ & = \sum_{ij} \delta_{ij} |w_j \rangle \langle v_i| \\ & = \sum_{i} |w_j \rangle \langle v_i| \\ \end{aligned} $$

注意，用到了 pdf 上的一个条件，翻到对应的页数即可找到。

谱分解

相似对角化是指，对于一个方阵 $ A $，如果存在一个可逆矩阵 $ P $ 和一个对角矩阵 $ D $，使得 $ A = PDP^{-1} $，那么矩阵 $ A $ 就是可相似对角化的。这里的对角矩阵 $ D $ 的对角元素就是 $ A $ 的特征值。

特征分解（Eigendecomposition），又称谱分解（Spectral decomposition） 是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。

谱分解用于描述正交对角化。在谱分解中，特别是在对称矩阵（实数域上）或酉矩阵（复数域上）的情况下，一个矩阵 $ A $ 可以被分解为 $ A = U \Lambda U^ \dagger $，其中 $ U $ 是一个正交矩阵或酉矩阵，$ \Lambda $ 是一个对角矩阵，且对角元素是 $ A $ 的特征值。

谱分解是一种特定的相似对角化，适用于特定类型的矩阵。

正交阵是酉阵的特殊情况。

谱分解通常表示为矩阵的乘法形式，如 $ M = U \Lambda U^\dagger $。然而，谱分解可以进一步表达为每个特征值与其对应的特征向量的外积之和。

具体来说，对于一个 $ n \times n $ 的 Normal 矩阵 $ M $，它的谱分解可以写成：

$$ M = \sum_{i=1}^n \lambda_i \mathbf{v}_i \mathbf{v}_i^\dagger $$

这里：

$ \lambda_i $ 是 $ M $ 的第 $ i $ 个特征值。
$ \mathbf{v}_i $ 是与特征值 $ \lambda_i $ 对应的特征向量。
$ \mathbf{v}_i^\dagger $ 是 $ \mathbf{v}_i $ 的共轭转置。

以 $ M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $ 为例，其特征值和特征向量如下：

$ \lambda_1 = 3 $， $ \mathbf{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $
$ \lambda_2 = 1 $， $ \mathbf{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $

它的谱分解可以写成：

$$ M = 3 \cdot \mathbf{v}_1 \mathbf{v}_1^\dagger + 1 \cdot \mathbf{v}_2 \mathbf{v}_2^\dagger $$

这种和式形式有助于理解矩阵在特征向量空间中的作用。

为什么之前的乘积形式可以改写为和的形式？

将 $ U $ 和 $ U^\dagger $ 分块：

$$ U = \begin{pmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_n \end{pmatrix} $$

$$ U^\dagger = \begin{pmatrix} \mathbf{v}_1^\dagger \\ \mathbf{v}_2^\dagger \\ \vdots \\ \mathbf{v}_n^\dagger \end{pmatrix} $$

其中，$ U $ 的列向量 $ \mathbf{v}_i $ 形成一个标准正交基。

于是：

$$ M = \begin{pmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \cdots & \mathbf{v}_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{v}_1^\dagger \\ \mathbf{v}_2^\dagger \\ \vdots \\ \mathbf{v}_n^\dagger \end{pmatrix} $$

由矩阵乘法：

$$ M = \lambda_1 \mathbf{v}_1 \mathbf{v}_1^\dagger + \lambda_2 \mathbf{v}_2 \mathbf{v}_2^\dagger + \cdots + \lambda_n \mathbf{v}_n \mathbf{v}_n^\dagger $$

简写为：