一类问题的新解法

一种考研数学中某类题型的新解法，与其背后的几何意义有关。目前各平台的考研博主中均未见到此类解法。

引入

若 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则积分上限的函数 $\Phi(x)=\int_{a}^{x} f(x)\, {\rm d}x$ 在 $[a,b]$ 上可导：

$$\Phi'(x)=\frac{\rm d} { {\rm d}x}\int_a^x f(t){\rm d}t=f(x) \quad (x\in [a,b])$$

一般地，若 $f(t)$ 连续，$g(x)$ 和 $h(x)$ 可导，则：

$$\frac{\rm d} { {\rm d}x}\int_{g(x)}^{h(x)}f(t){\rm d}t=f[h(x)]h'(x)-f[g(x)]g'(x)$$

上式可形成几何直观：

这里 $h$ 和 $g$ 可理解为从 $x\rightarrow t$ 的映射。积分变量为 $t$ ，不妨设 $g(x)<h(x)$ ，对 $f(t)$ 从 $g(x)$ 到 $h(x)$ 积分，$\int_{g(x)}^{h(x)}f(t){\rm d}t$ 的几何意义即是上图中的阴影面积。那么 $\frac{ {\rm d} } { {\rm d}x}\int_{g(x)}^{h(x)}f(t){\rm d}t$即是阴影面积对 $x$ 的变化率。为此，我们考察当 $x$ 获得一个很小的增量 $\Delta x$ 时，阴影面积将如何变化：

显然，阴影面积的变化为上图中紫色和绿色曲边梯形的面积变化（可正可负）之和。

当 $x$ 获得增量 $\Delta x$ 时，$h(x)$ 的增量为：

$$\Delta y=h'(x)\Delta x+o(h'(x)\Delta x)$$

当 $\Delta y$ 很小时，绿色曲边梯形的高可用 $f[h(x)]$ 替代。

因此绿色面积为：

$$f[h(x)][h'(x)\Delta x+o(h'(x)\Delta x)]$$

同理紫色面积为：

$$f[g(x)][g'(x)\Delta x+o(g'(x)\Delta x)]$$

因为 $\int_{g(x)}^{h(x)}f(t){\rm d}t$ 是从 $g(x)$ 积到 $h(x)$ ，所以绿色面积贡献为正，紫色为负。当然，也可以从 N-L 公式的角度理解，记 $f(t)$ 原函数为 $F(t)$ ，则 $\int_{g(x)}^{h(x)}f(t){\rm d}t=[F(t)]_{g(x)}^{h(x)}$ ，由此可知紫色前应当加个负号：

$$\begin{aligned} \Delta \int_{g(x)}^{h(x)}f(t){\rm d}t & = f[h(x)][h'(x)\Delta x+o(h'(x)\Delta x)] \\ & - f[g(x)][g'(x)\Delta x+o(g'(x)\Delta x)] \\ \end{aligned}$$

对上式两边同除 $\Delta x$ ，再令 $\Delta x \rightarrow 0$ ，即得：

$$\frac{ {\rm d} } { {\rm d}x}\int_{g(x)}^{h(x)}f(t){\rm d}t=f[h(x)]h'(x)-f[g(x)]g'(x)$$